Konfidenzintervall (engl.: Confidence Interval) und Irrtumswahrscheinlichkeit (engl.: p-value)

Note that a "standardized" translation of Irrtumswahrscheinlichkeit seems not to exist. Irrtumswahrscheinlichkeit is the probablity that a population for which the null hypothesis is true will yield a given estimate from a sample. It is commonly referred to as "p-value" as a shortcut for "probability of observing a statistic as extreme as or more extreme than that actually observed".

Die aus Stichproben geschätzten Parameter für eine Grundgesamtheit stimmen zwangsläufig meist nicht mit den wahren Parametern überein. Genauer: Exakt den »richtigen« Wert zu erhalten, ist ein recht unwahrscheinliches Ereignis; doch kann man zeigen, dass jedenfalls bei hinreichend großen Stichrpoben die meisten Stichprobenwerte nicht allzu weit vom wahren Wert abweichen. Im Rahmen der Inferenzstatistik wird gezeigt, dass man aus der Stichprobe Intervalle schätzen kann, die den wahren Parameter mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (der Überdeckungswahrscheinlichkeit) enthalten. Diese Intervalle werden als K. (auch: Vertrauensbereich oder Vertrauensintervall, in der älteren Literatur manchmal auch Mutungsbereich oder Mutungsintervall) bezeichnet. Andersherum wird häufig nach der Irrtumswahrscheinlichkeit gefragt, mit der das Intervall den wahren Parameter nicht enthält. Man erhält damit Aussagen der Art: Mit einer (Irrtums-)Wahrscheinlichkeit von p – häufig wählt man für p einen Wert von 0,05, manchmal aber auf 0,01 oder 0,001 – enthält das Konfidenzintervall mit der Untergrenze G_U und der Obergrenze G_O nicht den wahren Wert.

Die manchmal zu findende Redeweise von der » Wahrscheinlichkeit, mit der der wahre Wert in dem Intervall liegt» (oder nicht liegt) ist daher formal nicht korrekt. Der wahre Wert liegt entweder in dem gegebenen Intervall oder nicht. Vielmehr ist eine Aussage über ein Konfidenzintervall mit einer (beispielsweise) 95-prozentigen Überdeckungswahrscheinlichkeit so zu verstehen, dass in 95 Prozent aller Stichproben das K. den wahren Wert enthält.

Wie man das K. im einzelnen schätzt, hängt von dem zu schätzenden Parameter, von Annahmen über die Verteilung der betreffenden Variablen in der Grundgesamtheit sowie vom Stichprobenumfang ab.

Man unterscheidet zwischen zwei- und einseitigen K.n. Zweiseitige K. liegen im Regelfall symmetrisch um den geschätzen Parameter; die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Parameter über G_O liegt, soll gleich groß sein wie diejenige, dass er unter G_U liegt. Bei einem einseitigen K. wird eine der beiden Grenzen auf den Wert (+ oder -) "unendlich" festgelegt; man interessiert sich nur dafür, ob der Parameter über bzw. unter einem vorgegebenen Wert liegt. Ein Beispiel: Lautet die Forschungsfrage, in welchem Bereich der Intelligenzquotient von Mädchen mit vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit liegt, so muß man ein zweiseitiges Konfidenzintervall festlegen; will man aber feststellen, ob ihre Intelligenz einen bestimmten interessierenden (Schwellen-)Wert überschreitet, so wird man ein einseitiges Konfidenzintervall zugrundelegen.

Die Größe des Konfidenzintervalls hängt – bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit – vor allem von zwei Faktoren ab: der Stichprobengröße und der Variabilität der Grundgesamtheit. Je größer – ceteris paribus – die Stichprobe, desto kleiner wird das Konfidenzintervall; ebenso wird das Konfidenzintervall kleiner bei kleinerer Variabilität der Grundgesamtheit.

Siehe auch: Einseitige Hypothese, Signifikanz, -niveau, -test.

© W. Ludwig-Mayerhofer, ILMES | Last update: 19 Feb 2003