Satz. Genau dann ist c unzerlegbar, wenn c nicht 1 ist und aus c=ab folgt, dass c Teiler von a oder Teiler von b ist.

Beweis.

(1) Aus c=ab folge, dass c Teiler von a oder Teiler von b ist.

Sei nun c=ab, und o.B.d.A. a=cd, also c=ab=cdb. Nach der Kürzungsregel folgt 1=db. Also ist b Einheit.
Damit ist in einem Produkt mit dem Wert c immer einer der Faktoren eine Einheit, d.h. c ist unzerlegbar.

(2) c sei unzerlegbar.

Sei nun c=ab und o.B.d.A. Sei b eine Einheit. Es gibt also d, so dass bd=1. Multiplikation mit d ergibt
cd=abd=a. c ist also Teiler von a. Damit ist in einem Produkt mit dem Wert c immer einer der Faktoren durch c teilbar.

Satz. Jedes Primelement ist unzerlegbar.

Beweis. Jedes Element ist durch sich selbst teilbar; damit ist der vorangehende Satz anwendbar.


Zur Rolle der Null:

Handelt es sich um einen Ring, dann muss der nullteilerfrei sein, sonst gilt die Kürzungsregel nicht einmal dann, wenn man die Null weglässt. Ist er aber nullteilerfrei, so ist das multiplikative Monoid auch ohne die Null komplett. Bei Halbringen, die wie die natürlichen Zahlen eine bezüglich der Addition und Multiplikation abgeschlossene Teilmenge eines Rings sind, gilt ähnliches. Handelt es sich aber gar nicht um einen Ring, dann folgt aus der Eigenschaft der Null, neutrales Element der Addition zu sein, nicht, dass es auch absorbierendes Element der Multiplikation ist; in diesem Fall ist die Motivation gering, eine Sonderbehandlung für ein absorbierendes Elements der Multiplikation in die Definition aufzunehmen.