Satz. In Z[w] mit w nicht aus Z aber w² aus Z ist a+bw genau dann eine Einheit, wenn a²-b²w² = ±1.

Beweis.
Nicht nur ist w nicht aus Z, sondern auch nicht aus Q, so dass für alle x¬=0 aus Z xw nicht aus Z ist. Den Beweis dieser Bemerkung schenken wir uns hier.

Es sei a+bw eine Einheit, d.h. es gibt x+yw, so dass (a+bw)·(x+yw) = 1.

Ist a=0, so reduziert sich diese Aussage auf bw·(x+yw) = byw² + xw = 1. Da w nicht aus Q ist, muss dann x=0 sein. byw² ist aber Produkt der ganzen Zahlen b, y und w², die daher alle ±1 sein müssen. Dann ist aber a² - b²w² = -b²w² = ±1 wie gefordert.

Wir können uns also auf den Fall a¬=0 beschränken.

(a+bw) · (x+yw) = (ax+byw²) + (ay+bx) · w = 1

also ay+bx = 0, was wir wegen a¬=0 auch als y = -bx/a schreiben dürfen.

(a+bw) · (x+yw) = ax + byw² = ax - b²xw²/a = x · (a²-b²w²) / a = 1

Gäbe es einen Primteiler von x, der nicht Primteiler von a ist, so wäre x·(a²-b²w²)/a und mithin 1 durch diesen Primteiler teilbar. Da das nicht sein kann, ist jeder Primteiler von x auch Primteiler von a. Es ist aber nicht nur x+yw Inverses von a+bw, sondern auch umgekehrt, so dass jeder Primteiler von a auch Primteiler von x ist, also x = ±a. Damit haben wir a²-b²w² = ±1.

Die umgekehrte Richtung ist einfacher: Ist a²-b²w² = ±1, so ist ±(a-bw) das Inverse von a+bw.