Mit dem Wort "Algebra" verbinden sich ganz verschiedene Vorstellungen, und in der Tat wird dieses Wort höchst unterschiedlich gebraucht. Seit der Zeit Abu Dschafar Muhammad Ibn Musa Al-Chwarismis (~780-~850) - das Wort "Algebra" ergibt sich durch Verballhornung des Titels einer seiner Schriften - bis zum Ende des 19. Jahrhunderts bezeichnete es die Kunst, eine rationale oder reelle (seltener auch eine ganze oder komplexe) Zahl zu ermitteln, die in einer Aufgabe nur implizit, etwa in Form einer Textaufgabe, gegeben ist. In der Anfangszeit geschah das in verbaler Darstellung, die nach und nach durch eine Formelsprache ersetzt wurde. Der wesentliche Kniff besteht oft darin, nicht nur mit Zahlen zu rechnen, sondern auch mit Ausdrücken, die Variable enthalten, die ihrerseits allerdings für Zahlen stehen. In diesem Sinne ist die Umschreibung "Buchstabenrechnen" für die Algebra zwar grob vereinfachend, aber durchaus zutreffend.

Am Beginn des 19. Jahrhunderts stellte man sich in der Algebra nicht nur die Frage, wie man bestimmte Aufgaben löst, sondern auch, ob es vielleicht Aufgaben gibt, die gar keine allgemeine Lösung besitzen. Besonders Carl Friedrich Gauß (1777-1855), Niels Abel (1802-1829) und Evariste Galois (1811-1832) entwickelten dazu Methoden, bei denen eine Art Rechenoperationen auf Objekten vollzogen werden, die nicht unbedingt als Zahlen im gewöhnlichen Wortsinn bezeichnet werden können. Heute würde man das als Gruppen- und Körpertheorie bezeichnen. Dass die Zahlen, für die man die Ergebnisse verwenden wollte, selbst Gruppen und Körper bilden, so dass man eine einheitliche Theorie erhält, von der die Erkenntnisse über die Lösbarkeit bestimmter Aufgaben im Bereich der Zahlen nur Spezialfälle sind, ist ein Blick auf die Dinge, der sich erst in den folgenden rund hundert Jahren entwickeln sollte.

Man darf dabei getrost von einer kopernikanischen Wende in der Algebra sprechen. Ging es vorher darum, zu entdecken, welche Regeln man beim Rechnen mit den Zahlen vorfindet und sie zu nutzen, so war der neue Blick der, dass man willkürlich Regeln festlegt, aus denen man Schlüsse zieht, die dann auf alle Strukturen angewandt werden dürfen, die diese Regeln erfüllen. Nehmen wir als Beispiel die Rechenregeln, die man heute als Axiome für abelsche Gruppen bezeichnen würde:

In der alten Sicht der Dinge waren das die Regeln für die Addition von Zahlen, und es wird sicher einigen aufgefallen sein, dass die Regeln für die Multiplikation der Zahlen ungleich Null bis auf die Schreibweise ganz ähnlich sind. Jetzt würde man sagen, es handelt sich um die Axiome einer Theorie, hier die Theorie der abelschen Gruppen, und manche Strukturen erfüllen diese Axiome, hier zum Beispiel die rationalen Zahlen mit der Addition, der Null und der Negation (und auch eine ganz andere Struktur erfüllt sie: die rationalen Zahlen ungleich Null mit der Multiplikation, der Eins und der Kehrwertbildung). Zu einer solchen Struktur gehört also neben einer Trägermenge jeweils noch ein Satz von Operationen, die eine unterschiedliche, aber jeweils feste Anzahl von Operanden haben: hier die Gruppenverknüpfung mit zwei Operanden, das neutrale Element ohne Operand und das Inverse mit einem Operanden. Es gibt natürlich auch Strukturen, die zwar die passenden Operationen haben, aber die Axiome nicht erfüllen, hier etwa die natürlichen Zahlen mit der Addition, wo es keine Inversen gibt, oder die Wörter über einem Alphabet mit der Konkatenation, die nicht kommutativ ist. Eine Struktur, die die Axiome einer Theorie erfüllt, heißt ein Modell der Theorie.

Sind vorhin Namen großer Mathematiker genannt worden, die diese Wende eingeläutet haben, so sollen jetzt auch einige genannt werden, die sie vollendet haben. George Boole (1815-1864) dürfte einer der ersten gewesen sein, die das Wort Algebra auf Rechenregeln auch für solche Strukturen angewandt haben, die kaum Ähnlichkeit mit Zahlenmengen aufweisen. Das Programm, weite Teile der Mathematik axiomatisch zu begründen, also nicht von den Eigenschaften vorgegebener Strukturen auszugehen, sondern umgekehrt die Eigenschaften aller Strukturen zu untersuchen, die vorgegebene Axiome erfüllen, trägt vor allem die Handschrift David Hilberts (1862-1943). Unter denen, die die Begriffswelt der Algebra unter diesem axiomatischen Blickwinkel neu formulierten, sollen hier, sicher stellvertretend für viele andere, Emmy Noether (1882-1935) und Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996) genannt werden. Van der Waerdens Buch "Moderne Algebra" aus dem Jahr 1930 ist bis heute ein Standardwerk; es ist in seiner Neuauflage nach dem Krieg in "Algebra" umbenannt worden, so sehr hatte sich in der Zwischenzeit durchgesetzt, was zwanzig Jahre zuvor noch zu Recht als "modern" bezeichnet worden war.

Nun stellen wir noch einmal zusammen, welche Bedeutungen die Wörter "Algebra" und "algebraisch" heute haben, wobei die ersten beiden eben erläutert wurden, die dritte im Rest des Artikels vorkommen wird und die übrigen ohne Erläuterung nur der Vollständigkeit halber mit erwähnt werden:

Das Wort "Algebra" (österreichisch: "Algebra") wird übrigens unabhängig von seiner jeweiligen Bedeutungsnuance auf der ersten bzw. zweiten, der Plural "Algebren" immer auf der zweiten und das Wort "algebraisch" auf der dritten Silbe betont.